Factorizando polinomios más de tres términos.
Recuerde que si un polinomio es de grado, representa una recta, si es de grado dos un área y si es de grado tres un volumen. Los polinomios de grados mayores a tres carecen de significados físicos, pero aun así poseen cierta belleza matemática que provoca su estudio. Si un polinomio es de grado tres o más entonces puede poseer más de tres términos, en cuyo caso si es posible factorizarlo se debe considerar:
Factorización de cuatro o más términos
1. Considerar factor común m.c.d.
2. Considerar agrupación de términos.
3. Considerar ceros polinomiales.
Por lo general si un polinomio de más de tres términos no posee un factor común máximo común divisor (m.c.d.) en la mayoria de los casos se puede usar factorización por agrupación. Este método de factorización consiste en agrupar los términos en una manera conveniente, para luego factorizar los m.c.d. (monomio o polinomios), hasta escribir el polinomio como un producto.
Si es necesario se debe volver a releer los factores m.c.d. y factorización por agrupación esto ayudará bastante en la comprensión del tema, como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1. Buscando un m.c.d. polinómico. Factorizar \(3bz-bn-9mz+3mn\).
Solución 1: agrupando \(\left(3bz-bn\right)\) y \(\left(-9mz+3mn\right)\)
\begin{align}
&\left(3bz-bn\right)+\left(-9mz+3mn\right)\\
&b\left(3z-n\right)-3m\left(3z-n\right)\\
&\left(3z-n\right)\left(b-3m\right)\end{align}
Solución 2: agrupando \(\left(3bz-9mz\right)\) y \(\left(-bn+3mn\right)\)
\begin{align}
& \left(3bz-9mz\right)+\left(-bn+3mn\right)\\
&3z\left(b-3m\right)-n\left(b-3m\right)\\
&\left(3z-n\right)\left(b-3m\right)\end{align}
Como puede ver, agrupar de manera distinta produce el mismo resultado, siempre y cuando al factorizar los m.c.d. las cantidades dentro de los paréntesis sean iguales. Agrupando \(\left(3bz+3mn\right)\) y \(\left(-bn-9mz\right)\) no se tiene resultado, ya que al factorizar \(3\left(bz+mn\right)\) y \(-\left(bn+9mz\right)\) las cantidades en los paréntesis no son iguales y por tanto, la forma de agrupación no funciona.
Ejemplo 2.Escribir como un producto el \(20wx^2+6wx-8w^2-15x^3\).
Solución 1: agrupando \(\left(20wx^2-8w^2\right)+\left(6wx-15x^3\right)\)
\begin{align}
&4w\left(5x^2-2w\right)+3x\left(2w-5x^2\right)\\
&4w\left(5x^2-2w\right)-3x\left(5x^2-2w\right)\\
&\left(5x^2-2w\right)\left(4w-3x\right)\end{align}
Solución 2: agrupando \(\left(20wx^2-15x^3\right)+\left(6wx-8w^2\right)\)
\begin{align}
&5x^2\left(4w-3x\right)+2w\left(3x-4w\right)\\
&5x^2\left(4w-3x\right)-2w\left(4w-3x\right)\\
&\left(5x^2-2w\right)\left(4w-3x\right)\end{align}
Como puede notar, otra vez se llega al mismo resultado agrupando de manera distinta.
Ejemplo 3. Escribir como un producto el polinomio,
\(P=2x(3u+4v)+2m(3u+4v)-3n(3u+4v).\)
Solución: escribir como un producto es sinónimo de factorizar, de donde se puede escribir \(P=(3u+4v)(2x+2m-3n)\) factorizando un m.c.d.
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Regla de Ruffini y factorización
La regla de Ruffini o división sintética resulta una herramienta útil en la factorización de polinomios de grados mayores o iguales que tres, al ser aplicada en conjunto con los conceptos del teorema del residuo y del teorema del factor. Este hecho está ligado debido a la existencia o no de ceros racionales de un polinomio.
Si el polinomio posee ceros racionales entonces se puede utilizar la regla de Ruffini al observar si el residuo \(r(x)=0\) o no, como se ilustra a continuación.
Ejemplo 1. Volumen de una caja. El volumen de una caja prismática está dado por la expresión \(V=2x^3+11x^2+3x-36.\) Determinar las dimensiones de la caja.
Solución: el volumen es \(wlh=2x^3+11x^2+3x-36\) el cual es un polinomio racional, por tanto se puede usar la regla de Ruffini para intentar su factorización y así determinar los valores de \(w,l\) y \(h\). Note que \(wlh=2x^3+11x^2+3x-36\) está ordenado y completo. Los posibles ceros son de la forma
$$\frac{{\rm factores~ de}~a_0=36}{{\rm factores~de}~a_n=2}$$
$$\frac{p}{q}= \frac{\pm1;~\pm2;~\pm3;~\pm4;~\pm6;~\pm9~; \pm12;~\pm18;~\pm36}{\pm1;~\pm2}$$
$$\frac{p}{q}=\left\{\pm1;\pm2;\pm3; \pm4; \pm6; \pm9; \pm12; \pm18; \pm36; \pm\frac{1}{2}; \pm\frac{3}{2}; \pm\frac{9}{2}; \pm\frac{1}{2}\right\}$$
Se puede comprobar que para \(\pm1; \ \pm2\) y \(3\) el residuo \(r(x)\neq0,\) (por tanto no son ceros), para \(c=-3\) se tiene:
$$\begin{array}{c| c c c c}
&2& +11& +3& -36&\\
-3&\Downarrow & -6 & -15 &+36&\\
\hline &2&+5&-12&0\\
\end{array}$$
Por el teorema del factor como el residuo \(r(-3)=0\) entonces se tienen los factores \((x+3)(2x^2+5x-12)\)
Aplicando Ruffini otra vez.
$$\begin{array}{c| c c c}&12&+5&-12\\ -4&\Downarrow &-8&+12&\\ \hline&2&-3&0\end{array}$$
que por ser \(r(-4)=0\) produce los factores \((x+4)(2x-3)\) y al juntarse con el factor del paso anterior se tiene las dimensiones ancho por largo por alto, \(wlh=(x+3)(x+4)(2x-3)\) (el orden no importa).
Ejemplo 2. Factorizar el polinomio
\(P(x)=x^5-10x^3-6x^2+21x+18.\)
Solución: para aplicar la regla de Ruffini se requiere que el polinomio esté completo y ordenado, así que se reescribe el polinomio como $$P(x)=1x^5+0x^4-10x^3-6x^2+21x+18$$
los posibles ceros son de la forma $$\frac{factores~ de~ a_0=18}{factores~ de~ a_n=1}={\pm1;~ \pm2;~ \pm3;~ \pm6;~ \pm9;~ \pm;18}$$
Tomando los coeficientes y aplicando división sintética para \(c=-1\) (note que la suma de los coeficientes no es cero, por tanto \(1\) no es raíz) se tiene:
$$\begin{array}{c| c c c c c c}&1&+0&-10&-6&+21&+18\\-1&
\Downarrow &-1&+1&+9&-3&-18&\\\hline &1&-1&-9&+3&+18& \textcolor{navy}{0}\end{array}$$
Como el residuo \(r(-1)=\textcolor{navy}{0}\) entonces \((x+1)\) es factor, de donde se tienen los factores \((x+1)(x^4-x^3-9x^2+3x+18)\)
Aplicando Ruffini otra vez para \(x^4-x^3-9x^2+3x+18\)
$$\begin{array}{c| c c c c c}&1&-1&-9&+3&+18&\\
-2&\Downarrow &-2&+6&+6&-18\\\hline &1&-3&-3&+9& \textcolor{navy}{0}\end{array}$$
Como el residuo \(r(-2)=\textcolor{navy}{0}\) entonces se tienen los factores \((x+2)(x^3-3x^2-3x+9)\) que al escribirse junto al factor \((x+1)\) del paso anterior produce, \((x+1)(x+2)(x^3-3x^2-3x+9)\)
Aplicando Ruffini otra vez para \(x^3-3x^2-3x+9\).
$$\begin{array}{c| c c c c}&1&-3&-3&+9\\
3&\Downarrow &+3&+0&-9&\\\hline &1&+0&-3& \textcolor{navy}{0}\end{array} $$
Que por ser \(r(3)=\textcolor{navy}{0}\) entonces se tienen los factores \((x-3)(x^2-3)=(x-3)(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)\) (factorizando la diferencia de cuadrados \((x^2-3),\) de donde se concluye que la factorización total es,
$$P(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$
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